科学快速口算法
加减速算法
两位数减一位数，被减数个位小于减数
被减数的个位加上减数的补数，得数作为差的个位。被减数的十位减1作为差的十位。
$$
82-9=
\begin{cases}
8-1=7 \[2ex]
2+\color{red}{1}=3
\end{cases}
\left.
\begin{array}{l}
\text{(十位)}\[2ex]
\text{(个位)}\[2ex]
\end{array}
\right}
(连写)=73
$$
$$
\uparrow\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
(9的补数是1)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
$$
$$
17-8=
\begin{cases}
1-1=0 \[2ex]
7+\color{red}{2}=9
\end{cases}
\left.
\begin{array}{l}
\text{(十位)}\[2ex]
\text{(个位)}\[2ex]
\end{array}
\right}
(连写)=9
$$
$$
\uparrow\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
(8的补数是2)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
$$
补数：若两个数字之和为10，则称这两个数互为补数。1的补数是9，2的补数是8，3的补数是7，4的补数是6，5的补数是5，6的补数是4，7的补数是3，8的补数是2，9的补数是1。
首尾相反的两位数相加
被加数的个位和十位相加，得数的个位作为和的个位，得数的十位作为和的百位。再将得数的个位和十位相加后作为和的十位。例：
$$
46+64=
\begin{cases}
\[2ex]
4+6=10\[2ex]
\
\end{cases}
\begin{cases}
1 \[2ex]
1+0=1 \[2ex]
0
\end{cases}
\left.
\begin{array}{1}
\text{(百位)}\[1.5ex]
\text{(十位)}\[1.5ex]
\text{(个位)}\
\end{array}
\right}
(连写)=110
$$
$$
89+98=
\begin{cases}
\[2ex]
8+9=17\[2ex]
\
\end{cases}
\begin{cases}
1 \[2ex]
1+7=8 \[2ex]
7
\end{cases}
\left.
\begin{array}{1}
\text{(百位)}\[1.5ex]
\text{(十位)}\[1.5ex]
\text{(个位)}\
\end{array}
\right}
(连写)=187
$$
原理：$$ab+ba=10a+b+10b+a=(10a+a)+(10b+b)=11a+11b=11(a+b)$$
练习：$$68+86=\color{white}{154} \qquad 76+67=\color{white}{143}$$
首尾相反的两位数相减
被减数的十位减去个位，得数乘以9就是最终的差。
$$
64-46=
\begin{cases}
6-4=2 \[2ex]
9
\end{cases}
\left.
\begin{array}{l}
\[2ex]
\[2ex]
\end{array}
\right}
(相乘)=18
$$
$$
90-9=
\begin{cases}
9-0=9 \[2ex]
9
\end{cases}
\left.
\begin{array}{l}
\[2ex]
\[2ex]
\end{array}
\right}
(相乘)=81
$$
原理：$$设\ a>b \ ,$$
$$ab-ba=10a+b-(10b+a)=10a+b-10b-a=10a-a+b-10b=9a-9b=9(a-b)$$
练习：$$92-29=\color{white}{63} \qquad 65-56=\color{white}{9}$$
乘法速算法
二至四位数的平方速算法
二位数的平方速算法
**(11-19)**：底数的个位数与底数相加，得数为前积，底数的个位数相乘，得数为后积（逢十左进）。例：
$$
12^2=
\begin{cases}
12+2=14 \[2ex]
2^2=4
\end{cases}
\left.
\begin{array}{l}
\text{(前积)} \[1ex]
\text{(后积)}
\end{array}
\right}
=144
$$
$$
17^2=
\begin{cases}
17+7=24 \[2ex]
7\times7=\color{red}{4}9
\end{cases}
\left.
\begin{array}{l}
\text{(前积)} \[1ex]
\text{(后积)}
\end{array}
\right}
=289
$$
$$
\uparrow \
(十位数左进)
$$
练习：$$16^2=\color{white}{256} \qquad 19^2=\color{white}{361}$$
**(25-76)**：底数减去25，得数为前积，底数与50的差数的平方为后积（逢百左进，没十位用0补）。例：
$$
46^2=
\begin{cases}
46-25=21 \[2ex]
(50-46)^2=16
\end{cases}
\left.
\begin{array}{l}
\text{(前积)} \[1ex]
\text{(后积)}
\end{array}
\right}
=2116
$$
$$
37^2=
\begin{cases}
37-25=12 \[2ex]
(50-37)^2=\color{red}{1}69
\end{cases}
\left.
\begin{array}{l}
\text{(前积)} \[1ex]
\text{(后积)}
\end{array}
\right}
=1369
$$
$$
\uparrow \
(满百位左进)
$$
$$
51^2=
\begin{cases}
51-25=26 \[2ex]
(51-50)^2=\color{red}{0}1
\end{cases}
\left.
\begin{array}{l}
\text{(前积)} \[1ex]
\text{(后积)}
\end{array}
\right}
=2601
$$
$$
\uparrow \
(没有十位用0补)
$$
练习：$$49^2=\color{white}{2401} \qquad 63^2=\color{white}{3969}$$
**(75-99)**：底数减去底数的补数，得数为前积，（底数的）补数的平方得数为后积（逢百左进，没有百位用0补）。例：
$$
96^2=
\begin{cases}
96-(100-96)=92 \[2ex]
(100-96)^2=16
\end{cases}
\left.
\begin{array}{l}
\text{(前积)} \[1ex]
\text{(后积)}
\end{array}
\right}
=9216
$$
$$
76^2=
\begin{cases}
76-(100-76)=52 \[2ex]
(100-76)^2=\color{red}{5}76
\end{cases}
\left.
\begin{array}{l}
\text{(前积)} \[1ex]
\text{(后积)}
\end{array}
\right}
=5776
$$
$$
\uparrow \
(满百位左进)
$$
$$
97^2=
\begin{cases}
97-(100-97)=94 \[2ex]
(100-97)^2=\color{red}{0}9
\end{cases}
\left.
\begin{array}{l}
\text{(前积)} \[1ex]
\text{(后积)}
\end{array}
\right}
=9409
$$
$$
\uparrow \
(没有十位用0补)
$$
练习：$$87^2=\color{white}{7569} \qquad 94^2=\color{white}{8836}$$
三位数的平方速算法
把三位数分为左右两段，左边一段含一个数，简称$$a$$，右边一段含两个数，简称$$b$$，先计左边一段的平方（即$$a^2$$）得数为前积；然后在右边补上两数相乘积的两倍（即$$2ab$$），满百位左进，最后补上右段的平方（即$$b^2$$），满百位左进。例：
$$
\underbrace{1}{a}
\underbrace{08^2}{b}
\begin{cases}
a^2=1 \[2ex]
2ab=16 \[2ex]
b^2=64
\end{cases}
\left.
\begin{array}{l}
\[2ex]
\[1ex]
\[2ex]
\end{array}
\right}
(连写)=11664
$$
$$
\underbrace{1}{a}
\underbrace{12^2}{b}
\begin{cases}
a^2=1 \[2ex]
2ab=24 \[2ex]
b^2=\color{red}{1}44
\end{cases}
\left.
\begin{array}{l}
\[2ex]
\[1ex]
\[2ex]
\end{array}
\right}
(连写)=12544
$$
$$
\uparrow \
(满百位左进)
$$
四位数的平方速算法
四位数，两段分，每段含两位数，左边一段简称$$a$$，右边一段简称$$b$$，先求左平方（即$$a^2$$），得数为前积，后求左右两数相乘积的两倍（即$$2ab$$），满百位左进，末数补上油平方（即$$b^2$$），满百位左进。例：
$$
\underbrace{12}{a}
\underbrace{04^2}{b}
\begin{cases}
a^2=144 \[2ex]
2ab=96 \[2ex]
b^2=16
\end{cases}
\left.
\begin{array}{l}
\[2ex]
\[1ex]
\[2ex]
\end{array}
\right}
(连写)=1449616
$$
$$
\underbrace{12}{a}
\underbrace{14^2}{b}
\begin{cases}
a^2=144 \[2ex]
2ab=\color{red}{3}36 \[2ex]
b^2=\color{red}{1}96
\end{cases}
\left.
\begin{array}{l}
\[2ex]
\[1ex]
\[2ex]
\end{array}
\right}
(连写)=1473796
$$
$$
\uparrow \
(满百位左进)
$$
两首位相同，两尾数和是10的两位数乘法
十位数加上1，得出的和与十位相乘，得数为前积，两个位数相乘，得数为后积（没有十位用0补）。例：
$$
63\times67=
\begin{cases}
(6+1)\times6=42 \[2ex]
3\times7=21
\end{cases}
\left.
\begin{array}{l}
\text{(前积)} \[1ex]
\text{(后积)}
\end{array}
\right}
=4221
$$
$$
71\times79=
\begin{cases}
(7+1)\times7=56 \[2ex]
1\times9=\color{red}{0}9
\end{cases}
\left.
\begin{array}{l}
\text{(前积)} \[1ex]
\text{(后积)}
\end{array}
\right}
=5609
$$
$$
\uparrow \
(没有十位用0补)
$$
两位数的平方尾数是5的亦可用此法。例如：
$$25^2=625 \qquad 75^2=5625$$
$$45^2=2025 \qquad 95^2=9025$$
一百零几乘一百零几
被乘数与乘数个位数相加，得数放积前；被乘数个位与乘数个位相乘，得数放积后。例：
$$
104\times103=
\begin{cases}
104+3=107 \[2ex]
4\times3=12
\end{cases}
\left.
\begin{array}{l}
\text{(前积)} \[1ex]
\text{(后积)}
\end{array}
\right}
=10712
$$
练习：$$108\times103=\color{white}{11124} \qquad 107\times106=\color{white}{11342}$$
两首位相同，两尾数和不等于10的两位数乘法
首先两尾数相乘得一积，然后两尾之和与被乘数的首位相乘又得一积，最后两首位相乘（首位数的平方）再得一积，三积连加起来即为所求之积。例：
$$
\begin{array}{r}
52 \
\times53 \
\hline
2756
\end{array}
\qquad
\begin{array}{r}
61 \
\times62 \
\hline
3782
\end{array}
\qquad
\begin{array}{r}
73 \
\times74 \
\hline
5402
\end{array}
$$
两位数的平方尾数不是5的亦可用此法。例如：
$$
\begin{array}{r}
22 \
\times22 \
\hline
484
\end{array}
\qquad
\begin{array}{r}
66 \
\times66 \
\hline
4356
\end{array}
$$
被乘数首尾相同，乘数首尾和是10的两位数乘法
（乘数首位加1）然后两尾数相乘得一积，两首位再相乘又得一积，最后两积相连就是所求之积。例：
$$
\begin{array}{r}
22 \
\times19 \
\hline
418
\end{array}
\qquad
\begin{array}{r}
44 \
\times28 \
\hline
1232
\end{array}
\qquad
\begin{array}{r}
88 \
\times37 \
\hline
3256
\end{array}
$$
两首位和是10，两尾数相同得两位数乘法
首先两尾数相乘得一积，两首位相乘之积再加上一个相同得尾数，又得一积，两积连起来就是所求之积。例：
$$
\begin{array}{r}
26 \
\times86 \
\hline
2236
\end{array}
\qquad
\begin{array}{r}
75 \
\times35 \
\hline
2625
\end{array}
\qquad
\begin{array}{r}
47 \
\times67 \
\hline
3149
\end{array}
$$
两首位相差是1，两尾数和是10得两位数乘法。例：
$$
38\times22=836 \[2ex]
可分解为 \[2ex]
(30+8)\times(30-8)=30^2-8^2=836
$$
原理：$$a^2-b^2=(a+b)\times(a-b)$$
又如：$$46\times34=1564 \qquad 85\times75=6375$$
任意两位数乘法
（十字相乘法或对角线相乘法）首先用十字相乘法得一和数（被乘数首位与乘数尾数相乘之积加上被乘数尾数与乘数首位数相乘之积）加上两首位数相乘与两尾数相乘之积。例：
$$
43\times85=3655 \
\begin{array}{rcl}
4 & & 3 \
& \times & \
\times8 & & 5 \
\hline
4 & & 4 \
+32 & & 15 \
\hline
36 & & 55
\end{array}
$$
$$
34\times65=2210 \
\begin{array}{rcl}
3 & & 4 \
& \times & \
\times6 & & 5 \
\hline
3 & & 9 \
+18 & & 20 \
\hline
22 & & 10
\end{array}
$$
三位数乘法，首位和中位相同，尾位之和等于10的三位数乘法
首先两尾位相乘得一积，（给被乘数中位加1）再两中位相乘又得一积。然后两中位相加再和被乘数首位相乘得一积，最后两首位相乘得一积，四积连起来就是所求之积。例：
$$
112\times118=13216 \
\begin{array}{r}
112 \
\times118 \
\hline
13216
\end{array}
$$
任意数与11、22、…99等数相乘
首先从尾数算起。任意数与11、22、……99相乘，就给任意数得尾数乘以1、2、……9，然后两相邻数相加，再乘以1、2、……9，满十向前进位。例：
$$
12468\times11=137148 \
25124\times11=276364 \
421514\times22=9273308 \
135712\times22=2985664 \
1327145\times33=43795785 \
51481\times33=1698873 \
$$
9、99、999等与任意数相乘
首先找出任意数得补数，然后将补数连在9、99、999等数末位，最后由所得新数最高位减去补数，就是所求之积。例：
$$
99\times891=88209 \
99\times891=
\begin{cases}
{
\begin{cases}
99 \[2ex]
1000-891=109
\end{cases}
\left.
\begin{array}{l}
\[1ex]
\[1ex]
\end{array}
\right}
(连写)=99109
} \[2ex]
1000-891=109
\end{cases}
\left.
\begin{array}{l}
\[2ex]
\[1ex]
\[2ex]
\end{array}
\right}
(最高位相减)=
\begin{array}{rl}
& 99109 \
- & 109 \
\hline
& 88209
\end{array}
=88209
$$
开立方绝技
首先背熟表一、表二：
$$
\begin{array}{|c|c|}
\hline
原数 & 立方数 \ \hline
1 & 1 \ \hline
2 & 8 \ \hline
3 & 27 \ \hline
4 & 64 \ \hline
5 & 125 \ \hline
6 & 216 \ \hline
7 & 343 \ \hline
8 & 512 \ \hline
9 & 729 \ \hline
10 & 1000 \ \hline
\end{array}
\qquad
\begin{array}{|c|c|}
\hline
原数 & 立方数末位 \ \hline
1 & 1 \ \hline
2 & 8 \ \hline
3 & 7 \ \hline
4 & 4 \ \hline
5 & 5 \ \hline
6 & 6 \ \hline
7 & 3 \ \hline
8 & 2 \ \hline
9 & 9 \ \hline
10 & 0 \ \hline
\end{array}
$$
$$(表一) \qquad \qquad \qquad (表二)$$
例：某两位数的立方是21956 或 274625
- 拆分：首先设想将这个数的个、十、百三位“剪掉”，将剪掉的部分看成一个“新数”。
如：21952剪掉952后，剩下的新数是21；274652剪掉652后，剩下的新数是274 - 十位数：然后与表一中十个立方数比较，看新数落在哪两个立方数之间，选较小的那个原数就是原两位数的十位数字。
如：新数21，落在表一中8和27之间，选较小的原数为2，2就是原两位数的十位数字；新数274落在表一中216和343之间，选较小的原数6，6就是原两位的十位数字。 - 个位数：首先看21952的个位是2，然后在表二“立方数的末位”中看2的“原数”是8。8和2不相同，在不相同时，只要用10减去21952的个位数2，得数为8，8就是原两位数的个位数；
新数274625个位是5，然后在表二“立方数的末位”中看5的“原数”是5。5和5相同，在相同时，5就是原两位数的个位数。 - 最后：21952，十位数是2，个位数是8，即：$$28^3=21952$$
27425，十位数是6，个位数是5，即：$$65^3=274625$$